Forma euclidea della divisione
(dalla Nota 6, pag. 70, Unità 12)
La divisione cosiddetta euclidea, o divisione con resto, è quell’operazione che si fa quando si suddivide un numero a di oggetti (dividendo) in gruppi di b oggetti ciascuno (divisore) e quindi si conta il numero dei gruppi formati (quoziente) e quello r degli oggetti rimasti (resto).
Possiamo dire che per ogni dividendo a e divisore b interi esiste solo una coppia di quoziente q e resto r (anch’essi interi) tali che sommando r con il prodotto di b per q si ottenga il dividendo a di partenza: r+b×q=a.
Il resto r può assumere qualsiasi valore positivo (anche zero) strettamente minore di b. Questo significa che non ha senso – come si fa nella didattica tradizionale – differenziare divisioni senza resto (il famigerato quoto) e con resto (il quoziente).
La divisione nell’insieme N dei naturali è uno degli argomenti che trova maggiore spazio nell’Unità 12, e si rimanda per l’approfondimento al relativo §7 intitolato, appunto, La divisione.
L’obiettivo di una parte delle attività dell’Unità 12 è di rappresentare in linguaggio matematico il procedimento che si utilizza per individuare l’elemento del modulo che si trova in una data posizione della successione. L’approccio verte sulla capacità di rappresentare il numero di posto per mezzo di un opportuno multiplo del numero che esprime la lunghezza del modulo.
Per esempio, per trovare il 38° elemento in una successione formata da moduli di 5 elementi si opera con una divisione tra 38 (numero di posto) e 5 (lunghezza del modulo) ottenendo quoziente 7 e resto 3. É il resto che ci dirà che al 38° posto ci sta il terzo ele-mento del modulo. Si guideranno gli studenti ad esprimere la relazione tra dividendo, divisore, quoziente e resto e si conquisterà la scrittura: 38=5×7+3.
Questa rappresentazione è importante perché – come si è detto all’inizio – permette di vedere la divisione come operazione che agisce su una coppia di numeri (dividendo e divisore) e consente di individuare un’altra coppia (quoziente e resto). Si potranno anche esplorare parafrasi di questa relazione che hanno come soggetto il resto o, cosa più difficile, il dividendo o il quoziente.
Con alunni più grandi si può puntare alla generalizzazione: dati due numeri naturali a e b, con b>0, e detti q ed r rispettivamente il quoziente e il resto, possiamo esprimere in più modi le relazioni fra di essi, per esempio:
● a=q×b+r
● a–q×b=r
● (a-r):b=q.
La ricerca abituale di parafrasi, se fatta sin dal primo approccio alla divisione, eviterà rigidità nella sua codifica formale e, in generale, favorirà la flessibilità nel realizzare le trasformazioni algebriche.
