Progetto ArAl

La matematica tende ad unificare lo studio di situazioni che presentino in modo più o meno evidente certe somiglianze al di là del contesto in esame, del tipo di elementi coinvolti e dei loro valori numerici. Il riconoscimento di tali somiglianze avviene creando corrispondenze tra gli elementi delle varie situazioni che rispettino le relazioni fra essi; questo processo è proprio del ragionamento per analogia.
Quando si riesce a stabilire un tale genere di corrispondenze si dice che le situazioni sono analoghe o che presentano la stessa struttura, o anche che tra esse intercorre una analogia strutturale. Con il termine struttura si intende dunque la rete di relazioni che intercorrono tra gli elementi in gioco in una stessa situazione. Le situazioni sono riconosciute come analoghe quando hanno in comune una tale rete.
Un caso tipico di analogia strutturale si ha nei problemi, tant’è vero che si parla di struttura del problema quando ci si voglia riferire allo schema di ragionamento che, attraverso il concatenamento dei dati, consente di risolvere il problema stesso.
Per indicare e classificare le diverse strutture si parla poi di modello di problema.
Consideriamo ad esempio i seguenti problemi:

1. Per confezionare una gonna la sarta necessita di 1.20 m di stoffa e altrettanto di fodera. Il costo al metro della stoffa è di 73 €, il costo al metro della fodera è di 12 €. Quanto costa la confezione della gonna?
2. Di un trapezio isoscele si sa che l’altezza è 21 cm, e la metà di ciascuna delle basi è rispettivamente 35 cm e 24 cm. Quanto misura l’area del trapezio?
3. Pierino vuole invitare i suoi cinque più cari amici per la sua festa di compleanno. Fa un accordo con la mamma: lei preparerà torta e dolcetti vari ma Pierino pagherà con i suoi risparmi pizzette e Coca-Cola. Pierino si informa e viene a sapere che una coca cola costa 0.45 € e una pizzetta 0.78 €, quanti euro gli occorrono?

Pur essendo i problemi diversi (come formulazione, contesto, tipologia dei dati, tipologia dei valori dei dati) lo schema di ragionamento è il medesimo:
1. (costo stoffa + costo fodera) × lunghezza dei due tessuti
2. (misura metà base minore + misura metà base maggiore) × misura altezza
3. (costo pizzetta + costo Coca-Cola) × numero amici.
Con l’avvento della matematica moderna il termine struttura ha acquisito un significato specifico in relazione a varie aree della matematica: si parla ad esempio di strutture algebriche, di strutture d’ordine, e così via.
Questa denominazione raccoglie i vari modelli di organizzazione interna di insiemi in cui siano definite, rispettivamente, delle operazioni binarie soddisfacenti a certe proprietà (caso delle strutture algebriche) o a certe relazioni d’ordine (caso delle strutture d’ordine). Particolare importanza rivestono le strutture algebriche che consentono un inquadramento delle strutture soggiacenti ai vari ambiti numerici (naturali, interi relativi, razionali, reali) e il riconoscimento delle analogie di struttura di questi insiemi con altri ambiti non numerici.
Con il termine struttura si intende in questo caso la rete di relazioni che sussiste tra gli elementi di un dato insieme grazie alle proprietà di cui godono le operazioni tra questi. L’importanza di questa visione sta nel fatto che si sposta l’attenzione dal numero e dall’azione su di esso alle leggi che ne governano l’insieme di appartenenza, cosa che consente di passare da una visione procedurale (di tipo calcolativo) ad una visione globale legata agli aspetti relazionali tra i numeri.
Questo spostamento di attenzione porta ad esempio a riconoscere che i naturali con l’operazione di addizione sono strutturalmente analoghi ai naturali non nulli con l’operazione di moltiplicazione e che questo comporta somiglianze forti tra ordinamento e divisibilità e ancora forti somiglianze tra i processi generativi degli interi e dei razionali.
Un aspetto ancora più importante di questa visione sta nel superamento dell’idea che le operazioni sussistano solo tra numeri, concependo di operare con le leggi della aritmetica su enti matematici di tipo non numerico. Ad esempio si compongono insiemi mediante le operazioni di unione e di intersezione, si compongono operatori aritmetici, permutazioni, trasformazioni geometriche, eccetera, agendo in successione sui termini su cui questi agiscono. Le leggi a cui tali operazioni obbediscono sono le stesse delle operazioni aritmetiche (proprietà associativa, in alcuni casi proprietà commutativa e, nel caso di due operazioni, proprietà distributiva di una operazione rispetto all’altra).
Questo ampliamento di prospettiva, che unifica e semplifica lo studio di ambienti profondamente diversi nella natura degli elementi, risponde ad una esigenza tipica della matematica: quella di realizzare un’economia di pensiero. Grazie infatti all’analogia di struttura tra due ambiti è possibile trasferire da un ambiente all’altro proprietà più facilmente riconoscibili in uno di essi.