Il costrutto di rappresentazione canonica di un numero è valido solo in N o si estende anche in Q?
Questione posta nel gruppo ArAl in FB da Francesco Chesi:
A proposito di rappresentazioni non canoniche di un numero e i numeri razionali.
Finora ho capito che si parla di traduzione quando nella rappresentazione di un oggetto passiamo da un linguaggio all’altro (es. da matematico a verbale, a grafico ecc.) mentre si parla di trasformazione quando si opera all’interno di uno stesso linguaggio (es. 0,5=1/2 da numero decimale a frazione).
1) Perciò quelle bruttamente chiamate frazioni apparenti si possono indicare come rappresentazioni non canoniche (r.n.c.) di interi?
2) Se sì, come indicarle? 3 + 5 è un r.n.c. additiva di 8, allora 6/2 sarebbe una r.n.c. “frazionaria” di 3?
3) Ma allora ogni qualvolta lavoriamo con le frazioni equivalenti stiamo lavorando con rappresentazioni non canoniche di un numero, no? E perciò la classe del numero razionale 2 è l’insieme di tutte le sue r.n.c. o solo di alcune?
RISPOSTA (Nicolina Malara)
Il costrutto linguistico di rappresentazione canonica e rappresentazione non canonica è stato concepito in riferimento ai numeri naturali per evitare che alunni molto giovani, di fronte alla rappresentazione 5-2, la leggessero non come numero 3 ma come procedimento che lo determina, trasformando immediatamente la scrittura 5-2 in operazione: 5-2=3. Ovviamente nel momento in cui si estende l’ambito numerico si può estendere anche questa dicitura.
Quando si passa da naturali ai razionali, intendendo per numero razionale una classe di frazioni equivalenti, è importante considerare le rappresentazioni dei naturali come frazioni apparenti, ad esempio 3 visto come 3/1, per far capire che i numeri naturali con le loro operazioni si immergono in modo, appunto, ‘naturale’ in questo nuovo ambiente aritmetico. Si potrebbe assimilare il termine rappresentazione canonica alla frazione ridotta, ma preferiamo lasciare questa espressione alle rappresentazioni additive di un numero razionale; ad esempio: 1/3-1/4 è una rappresentazione non canonica di 1/12, 1/3+1/4 è una rappresentazione non canonica di 7/12, e così via. In altri termini, sarebbe opportuno che gli alunni vedessero 2/4 come una rappresentazione canonica di 1/2, proprio perché il numero razionale è la classe delle frazioni equivalenti ad 1/2, ed i ragazzi devono vedere mentalmente la classe generata dalla frazione ridotta attraverso la moltiplicazione del numeratore e del denominatore con uno stesso naturale non nullo.
Quindi: 3/1 è la rappresentazione canonica del numero naturale 3 visto come razionale ed in questo senso è la sua rappresentazione canonica in Q. Utilizzando la terminologia di Raimond Duval sui sistemi di rappresentazione, quando si sostituisce 6/2 con 3/1 si sta svolgendo un trattamento perché si opera nello stesso sistema (quello frazionario); quando si scrive 3=6/2 si sta facendo una conversione perché si passa dalla rappresentazione in N a quella in Q. Analogamente, quando si scrive 1/2=0,5 si sta facendo una conversione dal sistema frazionario a quello della rappresentazione decimale.
