Progetto ArAl

L’insegnante per prima cosa verifica che il testo del problema standard che intende modificare sia coerente e comprensibile (spesso gli autori danno per scontate informazioni che sono, al contrario, tutt’altro che scontate).
Se ha deciso di far progettare e realizzare un video dai suoi alunni, è opportuno che lo testi con qualche collega o con gli esperti ArAl prima di proporlo alla sua classe. Al fine di ipotizzare possibili errori degli alunni, si consiglia l’analisi a priori del problema.

Portiamo ad esempio il problema ‘I palloncini di Oscar’ nella sua versione originale ‘standard’ tratta da un libro di testo:

Oscar ha comprato i palloncini per la sua festa di compleanno.
Lui ne ha gonfiati 12, Albert ne ha gonfiati 8.
Purtroppo però, prima di appenderli, ne sono scoppiati 3.
Quanti palloncini rimangono per la festa?

Probabilmente la soluzione immaginata dagli autori è: (12+8)-3=17: viene dato per scontato che i due amici abbiano gonfiato tutti i palloncini acquistati, ma nessuno dice che sia andata così, e potrebbe essere stata gonfiata solo una parte di essi. Per superare questa ambiguità, nella versione non standard che proponiamo è stata inserita questa precisazione:

Oscar ha comprato i palloncini per la sua festa di compleanno.
Aiutato dall’amico Albert, li ha gonfiati tutti: lui ne ha gonfiati 12, Albert ne ha gonfiati 8.
Purtroppo però, prima di appenderli, ne sono scoppiati 3.

La traccia fa riferimento ai seguenti passaggi (non è detto che compaiano ogni volta tutti).
L’insegnante guida gli alunni a:

(a) Descrivere la situazione interpretando il testo del problema o il filmato
Verifica che il testo/il filmato sia stato compreso.

(b) Individuare gli enti in gioco (noti e sconosciuti) e descriverli usando i colori per evidenziarli

Si mostra come il ricorso ad una strategia basata sull’uso dei colori favorisca l’interpretazione dei componenti di una frase in linguaggio naturale o matematico, il confronto tra frasi in linguaggi diversi, o nello stesso linguaggio, e la sua traduzione da un linguaggio all’altro.

Va tenuto ben presente, però, questo principio: l’utilizzo del colore è limitato nel tempo. Vale anche in questo caso quanto la ricerca in didattica della matematica ha evidenziato nell’uso di strategie potenti come, per esempio, la bilancia a piatti o, negli anni ‘70 e ‘80’, il ricorso ai diagrammi a blocchi nella soluzione dei problemi: proprio per il fatto di essere potenti presentano aspetti di rischio presenti in un loro uso prolungato, in quanto possono creare degli stereotipi e quindi delle fissità concettuali o, addirittura, dei misconcetti che potrebbero rappresentare dei freni o dei ‘distorsori’ ad uno sviluppo coerente del pensiero algebrico.

Il nostro obiettivo ora è quello di mostrare come, nella soluzione di problemi verbali algebrici, un particolare utilizzo dei colori, integrato con un opportuno uso della rappresentazione, possa costituire un approccio favorevole allo sviluppo negli alunni di schemi mentali pre-algebrici.

(c) Riflettere su un’eventuale/probabile soluzione procedurale aritmetica

Che la classe ricorra a soluzioni basate su operazioni/risultato è una situazione molto comune, soprattutto nelle classi meno esperte, ed è importante che l’insegnante sappia come affrontarle per ricondurre gli alunni nel superamento del risolvere verso la conquista del rappresentare.

(d) Attivare strategie per favorire la conquista della rappresentazione della situazione in linguaggio matematico

L’insegnante può far ricostruire il testo attraverso la narrazione, la drammatizzazione, la rappresentazione grafica.

(e) Individuare le relazioni fra gli enti, noti e/o sconosciuti

È un momento molto importante per superare il concetto procedurale di ‘operazione’ (l’addizione, la sottrazione, …) verso quello relazionale di ‘nome della relazione’ (somma, differenza, …); si passa dalla fase della ‘verbalizzazione’ a quella della ‘nominalizzazione’. Si scoprono, ad esempio, le relazioni additiva, moltiplicativa, quella di equivalenza.

(f) Rappresentare in linguaggio matematico le relazioni precedenti e verbalizzarle (V. punto d)

Ogni relazione non solo viene esplicitata in linguaggio matematico, ma viene espresso il suo significato in modo chiaro usando la terminologia appropriata (somma, quoziente, ecc) e facendo riferimento al contesto (differenza fra il numero dei palloncini acquistati e il numero di quelli scoppiati).

(g) Verbalizzare l’uguaglianza e colorare le parti della frase che corrispondono agli enti espliciti, a quelli impliciti e alle relazioni fra gli enti

Questa fase dovrebbe mettere in evidenza la potenza della strategia cromatica. Si ribadisce che la strategia andrà mantenuta sino a che l’insegnante riterrà che essa costituisca un supporto necessario alla costruzione da parte degli alunni di una soddisfacente padronanza di cosa significhi tradurre da un linguaggio all’altro. Non deve diventare uno stereotipo, altrimenti perde la sua efficacia.
Aggiungiamo che può essere utilizzata la strategia dei colori anche per individuare nel testo i ‘piatti della bilancia’, cioè i membri dell’equazione. Anche qui valgono le osservazioni precedenti sulla durata nell’uso della strategia.

(h) tradurre la frase in linguaggio matematico curando che sia resa evidente la corrispondenza fra le parti colorate (V. b).

Le parti colorate della frase in linguaggio naturale troveranno una corrispondenza perfetta con i corrispondenti simboli matematici.

Considerazioni conclusive

La traccia che proponiamo non è vincolante, ma illustra possibili modalità di conduzione che possono aiutare l’insegnante quando propone l’esplorazione di situazioni problematiche nella prospettiva dell’early algebra. Tali modalità sono maturate attraverso l’implementazione dei problemi nelle classi, la redazione di diari e i successivi confronti fra insegnanti ed esperti. Esse andranno modulate, modificate, arricchite in base alla sensibilità dell’insegnante e alle risposte degli alunni e potranno aiutarlo/la ad espandere l’attività in direzioni interessanti.
La trasformazione di un problema standard in uno non standard non rappresenta una proposta ‘facile’: può ingenerare dubbi, incertezze e occorre avere riferimenti saldi per imparare a muoversi su un terreno incerto.
Una difficoltà, di carattere generale, dipende anche da quanto gli alunni siano abituati ad esprimere le proprie idee in ordine a contenuti matematici, quindi dalla loro capacità di usare e comprendere termini specifici, analizzare costruzioni sintattiche spesso non semplici, tradurle in registri e codici diversi. Il lavoro che proponiamo dovrebbe aiutare anche in questo senso.
Si tratta di un obiettivo ambizioso che richiede tempo. La nostra proposta è: sperimentare, monitorare, analizzare il lavoro svolto, condividere (attraverso i diari) percorsi, risultati, proposte e farlo nello spirito di chi si sente parte di una vera ‘comunità di pratiche’.